机器人建模 ¶

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98 往年答案

实验资料

主要内容：基于 Coppeliasim 仿真平台进行的实验。

绪论 ¶

常见机械臂几何结构 ¶

空间描述与变换 ¶

坐标系与向量 ¶

笛卡尔直角坐标系

交于原点的三条不共面的数轴（常称 x 轴、y 轴和 z 轴）构成空间的仿射坐标系
三条数轴（主轴）上度量单位相等的仿射坐标系称为空间笛卡尔坐标系
下面所有坐标系均采用直角右手坐标系

向量的表示

向量 $r_{O_AD}$，将它分别向 $\hat{X}_A, \hat{Y}_A, \hat{Z}_A$ 作投影，得到 3 个向量 $d_x \hat{X}_A, d_y \hat{Y}_A, d_z \hat{Z}_A$

$r_{O,D} = d_x \hat{X}_A + d_y \hat{Y}_A + d_z \hat{Z}_A = \left( \hat{X}_A \quad \hat{Y}_A \quad \hat{Z}_A \right) \begin{pmatrix} d_x \\ d_y \\ d_z \end{pmatrix}$

简洁表达 $^A D = \begin{pmatrix} d_x \\ d_y \\ d_z \end{pmatrix}$

向量点乘向量叉乘

内积结果是标量
两个向量 $r_{OP}$ 和 $r_{OQ}$ 的点乘(内积)可按下式计算:

\[ r_{OP} \cdot r_{OQ} = ^AP \cdot ^AQ = ^AP^T \cdot ^AQ\\ = (p_x \quad p_y \quad p_z)\begin{pmatrix}q_x\\q_y\\q_z\end{pmatrix} \\ = p_xq_x + p_yq_y + p_zq_z \]

两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的叉乘结果是一个新向量 $\vec{c}$:

\[ \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}= |a||b|\sin\theta \]

方向遵循右手定则，垂直于这两个向量所在的平面。

简单计算方法 :

把 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 写成下面的矩阵形式

\[ \begin{pmatrix} a_x & a_y & a_z & a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z & b_x & b_y & b_z \end{pmatrix} \]

去掉第一列和最后一列，剩下的 3 个 2x2 的矩阵（每次滑动 1 格子），计算行列式即可

点和刚体的描述 ¶

点

\[ r_{O_AP} = \begin{pmatrix} \hat{X}_A & \hat{Y}_A & \hat{Z}_A \end{pmatrix}^A P \]

刚体

在 $\{A\}$ 中表示出 $\{B\}$ 的姿态：

\[ \begin{pmatrix} \hat{X}_B & \hat{Y}_B & \hat{Z}_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \hat{X}_A & \hat{Y}_A & \hat{Z}_A \end{pmatrix}_B^A R \]

表示方法	核心思想	公式	缺点
旋转矩阵	使用 3x3 矩阵表示三维旋转	$\mathbf{R} = \begin{pmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{pmatrix}$	1. 参数多（9 个），冗余 2. 难以直观理解旋转过程 3. 插值复杂
欧拉角	将旋转分解为绕三个正交轴的旋转	$(\alpha, \beta, \gamma)$，常用 ZYX 顺序：$\mathbf{R} = R_z(\alpha) R_y(\beta) R_x(\gamma)$	易于理解和可视化但是 1. 万向锁问题（奇异性） 2. 不同顺序定义不唯一 3. 插值不平滑
等效轴角	用一个单位轴和一个旋转角表示旋转	$(\mathbf{k}, \theta)$，其中 $\mathbf{k} = (k_x, k_y, k_z)$ 为单位向量，$\theta$ 为旋转角。旋转矩阵为： $\mathbf{R} = \mathbf{I} + \sin\theta \mathbf{K} + (1 - \cos\theta) \mathbf{K}^2$，其中 $\mathbf{K} = \begin{pmatrix} 0 & -k_z & k_y \\ k_z & 0 & -k_x \\ -k_y & k_x & 0 \end{pmatrix}$	1. 无法直接表示 0° 旋转（需特殊处理） 2. 插值时需注意旋转角的周期性
四元数	使用四维超复数表示旋转	$q = \eta + i\varepsilon_1 + j\varepsilon_2 + k\varepsilon_3$，其中 $\eta^2 + \varepsilon_1^2 + \varepsilon_2^2 + \varepsilon_3^2 = 1$。	参数最少（4 个）避免了奇异性问题 1. 较难直观理解 2. 计算稍复杂（但比旋转矩阵简单）

机器人运动学 ¶

使两个刚体直接接触而又能产生一定相对运动的联接称为运动副，机器人的运动副也称关节，连杆即指由关节所联的刚体
本课程中的关节仅限转动副和移动副
串联机构：多个连杆通过关节以串联形式连接成首尾不封闭的机械结构

Note

为了确定末端执行器在 3 维空间的位置和姿态，串联机器人至少需要 6 个关节

改进 D-H 参数 ¶

确定坐标系的方法

第 1 步：确定 $Z_i$ 轴。基本原则是：$Z_i$ 轴沿关节 $i$ 的轴向。
第 2 步：确定原点 $O_i$。基本原则是：$O_i$ 在过 $Z_i$ 和 $Z_{i+1}$ 轴的公法线上。
第 3 步：确定 $X_i$ 轴。基本原则是：$X$ 轴沿过 $Z_i$ 和 $Z_{i+1}$ 轴的公法线方向，从 $Z_i$ 指向 $Z_{i+1}$。
第 4 步：确定 $Y_i$ 轴。基本原则是：$Y_i = Z_i \times X_i$，使坐标系为右手坐标系。

DH 参数的定义

杆件长度 $a_i$，定义为从 $Z_{i-1}$ 到 $Z_i$ 的距离，沿 $X_{i-1}$ 轴指向为正。
杆件扭角 $\alpha_i$，定义为从 $Z_{i-1}$ 到 $Z_i$ 的转角。绕 $X_{i-1}$ 轴正向转动为正。
关节距离 $d_i$，定义为从 $X_{i-1}$ 到 $X_i$ 的距离，沿 $Z_i$ 轴指向为正。
关节转角 $\theta_i$ 定义为从 $X_{i-1}$ 到 $X_i$ 的转角，绕 $Z_i$ 轴正向转动为正。

正运动学 ¶

相邻连杆的坐标系变换

{i-1} 经四步变换成为 {i}：

沿联体 x 轴平移 $a_{i-1}$
沿联体 x 轴旋转 $\alpha_{i-1}$
沿联体 z 轴平移 $d_i$
沿联体 z 轴旋转 $\theta_i$

\[ T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & a_{i-1} \\ 0 & \cos\alpha_{i-1} & -\sin\alpha_{i-1} & 0 \\ 0 & \sin\alpha_{i-1} & \cos\alpha_{i-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i & 0 & 0 \\ \sin\theta_i & \cos\theta_i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

经过矩阵乘法后，得到的结果为：

\[ = \begin{pmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i & 0 & a_{i-1} \\ \sin\theta_i\cos\alpha_{i-1} & \cos\theta_i\cos\alpha_{i-1} & -\sin\alpha_{i-1} & -\sin\alpha_{i-1}d_i \\ \sin\theta_i\sin\alpha_{i-1} & \cos\theta_i\sin\alpha_{i-1} & \cos\alpha_{i-1} & \cos\alpha_{i-1}d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

小测 ¶

1、证明，$R(a \times b) = (Ra) \times (Rb)$，其中 $R$ 是旋转矩阵，$a, b \in \mathbb{R}^3$。¶

定义法证明补全

首先，我们知道向量叉积 $a \times b$ 的性质是：

$$ det(x, a, b) = langle x, a times b rangle quad text{对于任意 } x in mathbb{R}^3。 $$

$$ det(x, a, b) = begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 end{vmatrix} $$

$$ langle x, a times b rangle = begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 end{bmatrix} begin{bmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \ a_3b_1 - a_1b_3 \ a_1b_2 - a_2b_1 end{bmatrix} = begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 end{vmatrix} $$

现在，考虑 $R \in SO(3)$：
由于 $R$ 是旋转矩阵，满足：

\[ R^T = R^{-1}。 \]
因此，有：

$$ langle x, R(a times b) rangle = langle R^T x, a times b rangle = det(R^{-1}x, a, b)。 $$

又因为：

$$ det(R) = 1， $$

所以：

$$ det(R)det(R^{-1}x, a, b) = det(x, Ra, Rb) = langle x, Ra times Rb rangle。 $$

由于对于任意 $x \in \mathbb{R}^3$ 都成立：

$$ langle x, R(a times b) rangle = langle x, Ra times Rb rangle， $$

根据内积的性质，可得：

$$ R(a times b) = (Ra) times (Rb)。 $$

表示方法	核心思想	公式	缺点
旋转矩阵	使用 3x3 矩阵表示三维旋转	\(\mathbf{R} = \begin{pmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{pmatrix}\)	1. 参数多（9 个），冗余 2. 难以直观理解旋转过程 3. 插值复杂
欧拉角	将旋转分解为绕三个正交轴的旋转	\((\alpha, \beta, \gamma)\)，常用 ZYX 顺序：\(\mathbf{R} = R_z(\alpha) R_y(\beta) R_x(\gamma)\)	易于理解和可视化但是 1. 万向锁问题（奇异性） 2. 不同顺序定义不唯一 3. 插值不平滑
等效轴角	用一个单位轴和一个旋转角表示旋转	\((\mathbf{k}, \theta)\)，其中 \(\mathbf{k} = (k_x, k_y, k_z)\) 为单位向量，\(\theta\) 为旋转角。旋转矩阵为： \(\mathbf{R} = \mathbf{I} + \sin\theta \mathbf{K} + (1 - \cos\theta) \mathbf{K}^2\)，其中 \(\mathbf{K} = \begin{pmatrix} 0 & -k_z & k_y \\ k_z & 0 & -k_x \\ -k_y & k_x & 0 \end{pmatrix}\)	1. 无法直接表示 0° 旋转（需特殊处理） 2. 插值时需注意旋转角的周期性
四元数	使用四维超复数表示旋转	\(q = \eta + i\varepsilon_1 + j\varepsilon_2 + k\varepsilon_3\)，其中 \(\eta^2 + \varepsilon_1^2 + \varepsilon_2^2 + \varepsilon_3^2 = 1\)。	参数最少（4 个）避免了奇异性问题 1. 较难直观理解 2. 计算稍复杂（但比旋转矩阵简单）